quarta-feira, 16 de maio de 2012

Semelhança e Congruência de Triângulos

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são congruentes e seus lados correspondentes são proporcionais.
Se dois triângulos são semelhantes, não apenas seus lados correspondentes são proporcionais como também quaisquer outros comprimentos correspondentes o são.


RAZÃO DE SEMELHANÇA
A razão de semelhança de dois triângulos é uma medida de proporcionalidade entre eles e é dada por uma constante : d/a = e/b = f/c = k.

EXEMPLO 1:
                                 

             



O triângulo ABC tem como medidas a = 6,32; b = 4,47 e c = 7,21. O triângulo DEF tem medidas d = 3,16; e = 2,24 e f = 3,61. Então, a razão de semelhança entre eles é de:

3,16/6,32 = 2,24/4,47 = 3,61/7,21 = 1/2

1º CASO DE SEMELHANÇA: AAA
Quando dois triângulos apresentam seus três ângulos respectivamente congruentes, eles são ditos semelhantes.
Demonstração
Observando os triângulos ABC e DEF acima, podemos perceber que: α ≈ ζ; β ≈δ; γ≈ε
Então temos que: ∆ ABC ∆ DEF


2º CASO DE SEMELHANÇA: LAL
Quando o ângulo compreendido entre dois lados correspondentes de um triângulo são congruentes, os dois triângulos são ditos semelhantes.





Demonstração:

Observando os triângulos ABC e DEF, podemos perceber que: b/e = c/f = k e α ≈ ζ
Então temos que: ∆ ABC ≈ ∆ DEF


3º CASO DE SEMELHANÇA: LLL
Quando dois triângulos apresentam os três lados correspondentes proporcionais, eles são ditos semelhantes.
 



Demonstração:
Observando os triângulos ABC e DEF, podemos perceber que: d/a = e/b = f/c = k
Então temos que: ∆ ABC ≈ ∆ DEF


CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são congruentes quando os lados e os ângulos de um são respectivamente congruentes aos lados e aos ângulos do outro.
Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes. São chamados casos de congruência.



1º CASO DE CONGRUÊNCIA: LLL
Dois triângulos que possuem os três lados respectivamente com medidas congruentes são congruentes.

Demonstração:
Observando os triângulos acima podemos perceber que: a = d; b = e; c = f
Então temos que: ∆ ABC ≈ ∆ DEF


2º CASO DE CONGRUÊNCIA: LAL
Dois triângulos que possuem dois lados com medidas congruentes e o ângulo formado por esses lados respectivamente com medidas congruentes, então são congruentes.
Demonstração:
Observando os triângulos acima podemos perceber que: a = d; c = f; α = ζ
Então temos que: ∆ ABC ≈ ∆ DEF


3º CASO DE CONGRUÊNCIA: ALA
Dois triângulos que possuem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente com medidas congruentes, são congruentes.


 





Demonstração:
Observando os triângulos ABC e DEF, podemos perceber que: α = ζ; β = δ; b = e
Então temos que: ∆ ABC ≈ ∆ DEF

4º CASO DE CONGRUÊNCIA: LAA
Dois triângulos que possuem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e um ângulo oposto a esse lado respectivamente com medidas congruentes, são congruentes.
 
Demonstração
Observando os triângulos ABC e DEF, podemos perceber que: b = e; α = ζ; γ = ε
Então temos que: ∆ ABC ≈ ∆ DEF

BIBLIOGRAFIA

● BONJORNO, José Roberto. Matemática: fazendo a diferença. 8ª Série / José Roberto Bonjorno, Regina
Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares. - 1. ed. - São Paulo: FTD, 2006. - (Coleção fazendo a diferença).













7 comentários:

  1. Queria ver exemplos mas detalhados!!

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  2. Este comentário foi removido pelo autor.

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  3. Aqui não tem demonstração alguma. Não pode colocar demonstração se não demonstra nada.

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