Educação Matemática: TEOREMA DE PITÁGORAS

HISTÓRICO

Nascido na ilha de Samos, Grécia, no ano de 570 a.C., Pitágoras, provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C. em Metaponto, região sul da Itália.

Com 18 anos, conhecia e dominava muitos conhecimentos matemáticos e filosóficos da época.

Durante uma de suas visitas ao Egito, impressionado com as pirâmides, desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras, provando que em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

É responsável pelo desenvolvimento da tábua de multiplicação, do sistema decimal e das proporções aritméticas e, por isso, é considerado um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos.

O TEOREMA

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo, triângulo que apresenta um ângulo reto (90º).

O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto.

FÓRMULA E COROLÁRIOS

Sendo “a” o comprimento da hipotenusa e “b” e “c” os comprimentos dos outros dois lados, o teorema pode ser expresso como a equação: a² = b² + c²

A manipulação algébrica desta equação mostra que com o conhecimento de quaisquer dois lados do triângulo retângulo, podemos encontrar o comprimento do terceiro lado: b² = a² – c²

Outro corolário do teorema é que c² = a² – b².

DEMONSTRAÇÕES

● Por comparação de áreas:

Como b² + a² representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e c² representa a mesma área, b² + c² = a². Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida a foi chamado de hipotenusa e os de medida b e c foram chamados de catetos.

●Por semelhança de triângulos:

Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em A. O ponto D divide o comprimento da hipotenusa, a, nas partes d e e. O novo triângulo, BAD, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo B, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também. Seguindo-se o mesmo raciocínio, percebe-se que o triângulo ACD também é semelhante à ABC.

A semelhança de triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes: b/a = e/b ou c/a = d/c.

Estas relações são escritas como: b² = a . e e c² = a . d

Somando-se as duas igualdades: b² + c² = a . e + a . d → b² + c² = a. (e + d) → b² + c² = a . a → b² + c² = a²

Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²

DEMONSTRAÇÃO ALGÉBRICA

A análise da figura permite computar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (b−a). Equacionando-se, segue que: c² = 4ab/2 + (b - a)²
Segue que: c² = 2ab + b² – 2ab + a² → c² = b² + a²

EXEMPLO 1:

Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir:

a² = 9² + 12²

a² = 81 + 144

a² = 225

a = √225

a = 15

NÚMEROS IRRACIONAIS

Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja: